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    第九章 力学量本征值问题的代数解法

    §9.1 一维谐振子的Schr?dinger因式分解法 升、降算符

    一、Hamilton量的代数表示 一维谐振子的Hamilton量可表为

    H?12?p?21222??x

    采用自然单位(??????1),

    (此时能量以??为单位,长度以?/??为单位,动量以???为单位) 则

    H?12p?212x

    2而基本对易式是?x,p??i。

    12?令a?(x?ip),a?12(x?ip)

    其逆为x?12(a?a),p??i2(a?a)。

    ?利用上述对易式,容易证明(请课后证明)

    [a,a]?1

    ?将两类算符的关系式x?12(a?a),p?1212?i22(a?a)

    ?代入一维谐振子的Hamilton量H?p?2x,有

    1???1???H??aa????N??

    22??????a?a。 上式就是Hamilton量的因式分解法,其中N???N?,而且在任何量子态?下 由于NN?(?,aa?)?(a?,a?)?0

    ??为正定厄米算符 所以N

    1

    二、Hamilton量的本征值

    ?的本征值为n,n?0,1,2,?,则H的本征值E为(自然单位,??)下面证明,若N n1??En??n??,n?0,1,2,?

    2???的本征态( n为正实数),即 证明:设|n>为N?n?nn N??a?a容易算出 利用[a,a?]?1及N?,a?]?a?,[N?,a]??a [N?,a]n??an。 因此[N?an?aN?n?N?an?nan 但上式 左边?N?an?(n?1)an。 由此可得N?的本征态,相应本征值为(n?1)。 这说明,a|n?也是N?的本征态|n?出发,逐次用a运算,可得出N?的一系列本征态 如此类推,从N|n?,a|n?,a|n?,…

    2相应的本征值为

    n,n?1,n?2,…

    ?为正定厄米算子,其本征值为非负实数。 因为N若设最小本征值为n0,相应的本征态为n0,则

    an0?0

    此时

    ?n?a?an?0?0n N000?的本征值为0的本征态,或n?0。此态记为|0?,又称为真空态,亦即即n0是N0谐振子的最低能态(基态),对应的能量本征值 ( 加上自然单位)为??/2。

    利用

    2

    ?,a?]?a? [N同样可以证明

    ?a?n?(n?1)a?n N??的本征态,本征值为(n?1)。 这说明an也是N?0?00, 利用上式及N?的全部本征态: 从0出发,逐次用a?运算,可得出N利用[a,a?]?1,有aa???。 ?1?aa?1?N?的本征态,本征值是0 已知0是N?a?n?(n?1)a?n可知 由N?a?0?1?a?0 N??的本征态,本征值是1。 即a0也是N下面看a显然

    ?2?的本征态,本征值是多少? 0是否也是N?a?20?a?a?a?20?a?a?a?a?0N??)a?0?a(1?N?a?a?2???0?aNa0

    ?20?aa0??0?2a?2故a?2?的本征态,本征值是2。 0也是N这样

    对本征态 |0?,a|0?,a??2|0?,…

    ?本征值为0, 1, 2,… NH本征值为1/2, 3/2, 5/2,…

    所以,a可以成为上升算符,a可以称为下降算符。证毕。 这种描述体系状态的表象叫粒子数表象。

    3

    ?

    利用归纳法可以证明(课下证):

    ?(即H)的归一化本征态可表为(为什么?) N

    n?1n!?n(a)0

    且满足

    1??Hn??n??n,nn???nn?

    2??由n?1n!?n(a)0得

    n?1?1(n?1)!(a)?n?10

    所以

    a?|n??1n!(a)?n?1|0??n?1??n?1(n?1)!(a)|0?

    n?1|n?1?从而有

    a|n?1???n|n?

    ?|n??a?a|n??nn得 而由N1n??aa|n??nn

    所以a|n?1??1naa|n?

    ???或aa|n??an|n?1?

    上式作用任一左矢?m|,有

    ?m|aa|n???m|a??n|n?1?

    4

    利用[a,a?]?1,有a?a?aa??1,代入上式,即

    ?m|aa??1|n???m|a??n|n?1?

    或?m|aa?|n???m|n???m|an|n?1?

    利用a?|n??n?1|n?1?,上式变为

    ?m|an?1|n?1???m|n???m|n|n?

    移项,得?m|a|n?1???m|上式对任意m都成立,所以

    n?1|n?。

    a|n?1??n?1|n?

    或a|n??n|n?1?。 n?1|n?1?,

    连同a?|n??这就是下降和上升算符的定义,很有用处。 三、升降算符的应用

    1. 坐标和动量算符的矩阵元计算 利用a?|n??a|n??n?1|n?1? n|n?1?

    以及x?12(a?a),p??i2(a?a)

    ?容易证明:

    ?1x?(n?1?n?n?1??n?n?2??p?i(n?1??n?nn?n?1?2?n?n?n?1)?,??

    n?n?n?1)???拿第一式的证明为例。 因为x?所以

    12(a?a),

    ? 5

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