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青海11选五怎么中奖 www.skw3.com 题型六 三角形、四边形综合题

,命题规律与解题策略)

【命题规律】本专题通常以三角形、四边形综合与翻折、旋转或平移相结合，利用全等、相似、勾股定理或三角函数相关知识求解或证明．纵观青海近五年中考，2013年、2014年、2016年作为第27题出现，分值在10分左右，难度较大．

【解题策略】熟练掌握翻折、旋转、平移性质特征，利用其性质结合三角形、四边形性质判定进行推理论证和相关计算．此题前几问相对简单，后面问题往往可以运用前面问题的解题思路或结论，类比找到后面问题的解题思路．

,重难点突破)

图形综合探究

【例】(2017衢州中考)【问题背景】

如图①，在正方形ABCD的内部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．

【类比研究】

如图②，在正△ABC的内部，作∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点(D，E，F三点不重合)．

(1)△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明； (2)△DEF是否为正三角形？请说明理由；

(3)进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD＝a，AD＝b，AB＝c，请探索a，b，c满足的等量关系．

【解析】(1)由正三角形的性质得∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝AC，证出∠ABD＝∠BCE＝∠CAF，由

ASA证明任一对三角形全等即可；(2)由全等三角形的性质得出∠ADB＝∠BEC＝∠CFA，证出∠FDE＝∠DEF＝

1

∠EFD，即可得出结论；(3)作AG⊥BD于G，由正三角形的性质得出∠ADG＝60°，在Rt△ADG中，DG＝b，AG＝

23

b, 在Rt△ABG中，由勾股定理即可得出结论． 2

【答案】解：(1)△ABD≌△BCE≌△CAF；选证△ABD≌△BCE.∵△ABC是正三角形， ∴∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC. ∵∠ABD＝∠ABC－∠CBE，∠BCE＝∠ACB－∠ACF， 又∵∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，∴∠ABD＝∠BCE.

1

∠BAD＝∠CBE，??

在△ABD和△BCE中，?AB＝BC，

??∠ABD＝∠BCE，∴△ABD≌△BCE(ASA)；

(2)△DEF是正三角形；理由如下： ∵△ABD≌△BCE≌△CAF， ∴∠ADB＝∠BEC＝∠CFA， ∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD， ∴△DEF是正三角形；

(3)作AG⊥BD于G，如图所示． ∵△DEF是正三角形，∴∠ADG＝60°. 13

在Rt△ADG中，DG＝b，AG＝b. 221?2?3?2?在Rt△ABG中，c＝?a＋b?＋?b?， ?2??2?

2

∴c＝a＋ab＋b.

1．(2017天门中考)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA＝DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME.

222

(1)如图①，当∠ADC＝90°时，线段MD与ME的数量关系是____；

(2)如图②，当∠ADC＝60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论； ME

(3)如图③，当∠ADC＝α时，求的值．

MD解：(1)MD＝ME； (2)MD＝3ME.理由如下： 如答图①，延长EM交DA于点F. ∵BE∥DA，∴∠FAM＝∠EBM. ∵M为AB中点，∴AM＝BM. 又∵∠AMF＝∠BME，

2

∴△AMF≌△BME. ∴AF＝BE，MF＝ME. ∵DA＝DC，∠ADC＝60°， ∴∠BED＝∠ADC＝60°， ∠ACD＝60°.

∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＝30°. ∵∠BED＝∠ECB＋∠EBC， ∴∠EBC＝30°，∴CE＝BE.

∴AF＝CE，∴DF＝DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE＝30°. ME3

在Rt△MDE中，tan∠MDE＝＝，

MD3∴MD＝3ME；

(3)如答图②，延长EM交DA于点F，延长BE交AC于点N. ∵BE∥DA，

∴∠FAM＝∠EBM.又∵AM＝BM，∠AMF＝∠BME， ∴△AMF≌△BME. ∴AF＝BE，MF＝ME. ∵AD∥BN，∴∠BNC＝∠DAC.

∵DA＝DC，∴∠DCA＝∠DAC，∴∠BNC＝∠DCA.

∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＝90°－∠DCA，∠EBC＝90°－∠BNC，∴∠ECB＝∠EBC，∴CE＝BE， ∴AF＝CE，∴DF＝DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC. α

∵∠ADC＝α，∴∠MDE＝. 2

MEα

在Rt△MDE中，＝tan∠MDE＝tan.

MD2

2．(2017襄阳中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，AC＝BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC，BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点 M，DE与BC交于点N.

3

(1)如图①，若CE＝CF，求证：DE＝DF； (2)如图②，在∠EDF绕点D旋转的过程中：

①探究三条线段AB，CE，CF之间的数量关系，并说明理由； ②若CE＝4，CF＝2，求DN的长． 解：(1)∵CD是△ABC的中线，∴AD＝BD.

又∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∠BCE＝∠ACF＝90°，∴∠DCE＝∠DCF＝135°. CE＝CF，??

在△DCE与△DCF中，∵?∠DCE＝∠DCF，

??CD＝CD，∴△DCE≌△DCF，∴DE＝DF； (2)①∵∠DCF＝∠DCE＝135°， ∴∠CDF＋∠F＝180°－135°＝45°. ∵∠CDF＋∠CDE＝45°，∴∠F＝∠CDE， CDCF2

∴△CDF∽△CED，∴＝，即CD＝CE·CF.

CECD1

∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AD＝BD，∴CD＝AB，

2∴AB＝4CE·CF；

②在题图②中，过D作DG⊥BC于G，则∠DGN＝∠ECN＝90°，CG＝DG. 当CE＝4，CF＝2时，由①CD＝CE·CF得CD＝22，

∴在Rt△DCG中，CG＝DG＝CD·sin∠DCG＝22×sin45°＝2. ∵∠ECN＝∠DGN，∠ENC＝∠DNG， CNCE

∴△CEN∽△GDN，∴＝＝2，

GNDG12∴GN＝CG＝，

33∴DN＝GN＋DG＝

2

2

2

2

2

?2?＋22＝210. ?3?3??

3.(2017临沂中考)如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF.连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC.

(1)请判断：FG与CE的数量关系是________，位置关系是________；

(2)如图②，若E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；

(3)如图③，若E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．

4

解：(1)FG＝CE，FG∥CE； (2)成立．

证明：设CF与DE相交于点M. ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠FBC＝∠ECD＝90°. ∵BF＝CE，∴△BCF≌△CDE， ∴FC＝ED，∠DEC＝∠BFC. ∵∠BFC＋∠FCE＝90°， ∴∠DEC＋∠FCE＝90°， ∴∠EMC＝90°，即FC⊥DE. ∵GE⊥DE，∴GE∥FC. 又∵EG＝DE，∴EG＝FC， ∴四边形GECF是平行四边形， ∴FG＝CE，FG∥CE； (3)成立．

4．(2017沈阳中考)四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG(点D，点F在直线CE的同侧)，连接BF.

(1)如图①，当点E与点A重合时，请直接写出BF的长； (2)如图②，当点E在线段AD上时，AE＝1. ①求点F到AD的距离； ②求BF的长；

(3)若BF＝310，请直接写出此时AE的长．

解：(1)BF＝45；

(2) ①如答图，过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H. ∵四边形CEFG是正方形， ∴EC＝EF，∠FEC＝90°， ∴∠DEC＋∠FEH＝90°. 又∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝90°，

∴∠DEC＋∠ECD＝90°，∴∠ECD＝∠FEH. 又∵∠EDC＝∠FHE＝90°，

5

∴△ECD≌△FEH， ∴FH＝ED. ∵AD＝4，AE＝1， ∴ED＝AD－AE＝4－1＝3，

∴FH＝3，即点F到AD的距离为3； ②延长FH交BC的延长线于点K. ∴∠DHK＝∠HDC＝∠DCK ＝90°， ∴四边形CDHK为矩形， ∴HK＝CD＝4，

∴FK＝FH＋HK＝3＋4＝7.

∵△ECD≌△FEH，∴EH＝CD＝AD＝4， ∴AE＝DH＝CK＝1， ∴BK＝BC＋CK＝4＋1＝5. 在Rt△BFK中，

BF＝FK＋BK＝7＋5＝74； (3)AE＝2＋41或AE＝1.

【方法指导】(1)过点F作FM⊥BA，交BA的延长线于点M，根据勾股定理求得AC＝42.又因点E与点A重合，可得△AFM为等腰直角三角形且AF＝42，再由勾股定理求得AM＝FM＝4.在Rt△BFM中，由勾股定理即可求得BF＝45；(2)①过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，根据已知条件易证△ECD≌△FEH，根据全等三角形的性质可得FH＝ED.又因AD＝4，AE＝1，所以ED＝AD－AE＝4－1＝3，即可求得FH＝3，即点F到AD的距离为3；②延长FH交BC的延长线于点K，求得FK和BK的长，在Rt△BFK中，根据勾股定理即可求得BF的长；(3)分点E在线段AD的延长线上和点E在线段DA的延长线上两种情况求解即可.

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