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    青海11选五怎么中奖 www.skw3.com 第二讲 因式分解(二)

    1.双十字相乘法

    分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式.

    例如,分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我们将上式按x降幂排列,并把y当作常数,于是上式可变形为

    2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),

    可以看作是关于x的二次三项式.

    对于常数项而言,它是关于y的二次三项式,也可以用十字相乘法,分解为

    -22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1).

    再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

    所以

    原式=[x+(2y-3)][2x+(-11y+1)] =(x+2y-3)(2x-11y+1).

    上述因式分解的过程,实施了两次十字相乘法.如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起,可得到下图:

    它表示的是下面三个关系式: (x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2; (x-3)(2x+1)=2x2-5x-3; (2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3. 这就是所谓的双十字相乘法.

    用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是:

    (1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一个十字相乘图(有两列); (2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上,要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx. 例1 分解因式: (1)x2-3xy-10y2+x+9y-2; (2)x2-y2+5x+3y+4; (3)xy+y2+x-y-2;

    (4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2. 解 (1)

    原式=(x-5y+2)(x+2y-1). (2)

    原式=(x+y+1)(x-y+4).

    (3)原式中缺x2项,可把这一项的系数看成0来分解.

    原式=(y+1)(x+y-2). (4)

    原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z).

    说明 (4)中有三个字母,解法仍与前面的类似. 2.求根法

    我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),…等记号表示,如 f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,…,

    当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)表示.如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3×1+2=0; f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12.

    若f(a)=0,则称a为多项式f(x)的一个根.

    定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根,即f(a)=0成立,则多项式f(x)有一个因式x-a.

    根据因式定理,找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根.对于任意多项式f(x),要求出它的根是没有一般方法的,然而当多项式f(x)的系数都是整数时,即整系数多项式时,经常用下面的定理来判定它是否有有理根. 定理2

    的根,则必有p是a0的约数,q是an的约数.特别地,当a0=1时,整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数.

    我们根据上述定理,用求多项式的根来确定多项式的一次因式,从而对多项式进行因式分解. 例2 分解因式:x3-4x2+6x-4.

    分析 这是一个整系数一元多项式,原式若有整数根,必是-4的约数,逐个检验-4的约数:±1,±2,±4,只有 f(2)=23-4×22+6×2-4=0,

    即x=2是原式的一个根,所以根据定理1,原式必有因式x-2. 解法1 用分组分解法,使每组都有因式(x-2). 原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4) =x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2) =(x-2)(x2-2x+2).

    解法2 用多项式除法,将原式除以(x-2),

    所以

    原式=(x-2)(x2-2x+2).

    说明 在上述解法中,特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数,反之不成立,即-4的约数不一定是多项式的根.因此,必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证. 例3 分解因式:9x4-3x3+7x2-3x-2.

    分析 因为9的约数有±1,±3,±9;-2的约数有±1,±

    为:

    所以,原式有因式9x2-3x-2. 解 9x4-3x3+7x2-3x-2 =9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2 =x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2 =(9x2-3x-2)(x2+1) =(3x+1)(3x-2)(x2+1)

    说明 若整系数多项式有分数根,可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式,如上题中的因式

    可以化为9x2-3x-2,这样可以简化分解过程.

    总之,对一元高次多项式f(x),如果能找到一个一次因式(x-a),那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x),而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式,这样,我们就可以继续对g(x)进行分解了.

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