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  • 2018中考数学复习第2编专题突破篇题型6三角形四边形综合题精讲试题 - 下载本文

    青海11选五怎么中奖 www.skw3.com 题型六 三角形、四边形综合题

    ,命题规律与解题策略)

    【命题规律】本专题通常以三角形、四边形综合与翻折、旋转或平移相结合,利用全等、相似、勾股定理或三角函数相关知识求解或证明.纵观青海近五年中考,2013年、2014年、2016年作为第27题出现,分值在10分左右,难度较大.

    【解题策略】熟练掌握翻折、旋转、平移性质特征,利用其性质结合三角形、四边形性质判定进行推理论证和相关计算.此题前几问相对简单,后面问题往往可以运用前面问题的解题思路或结论,类比找到后面问题的解题思路.

    ,重难点突破)

    图形综合探究

    【例】(2017衢州中考)【问题背景】

    如图①,在正方形ABCD的内部,作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH,根据三角形全等的条件,易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH,从而得到四边形EFGH是正方形.

    【类比研究】

    如图②,在正△ABC的内部,作∠BAD=∠CBE=∠ACF,AD,BE,CF两两相交于D,E,F三点(D,E,F三点不重合).

    (1)△ABD,△BCE,△CAF是否全等?如果是,请选择其中一对进行证明; (2)△DEF是否为正三角形?请说明理由;

    (3)进一步探究发现,△ABD的三边存在一定的等量关系,设BD=a,AD=b,AB=c,请探索a,b,c满足的等量关系.

    【解析】(1)由正三角形的性质得∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°,AB=BC=AC,证出∠ABD=∠BCE=∠CAF,由

    ASA证明任一对三角形全等即可;(2)由全等三角形的性质得出∠ADB=∠BEC=∠CFA,证出∠FDE=∠DEF=

    1

    ∠EFD,即可得出结论;(3)作AG⊥BD于G,由正三角形的性质得出∠ADG=60°,在Rt△ADG中,DG=b,AG=

    23

    b, 在Rt△ABG中,由勾股定理即可得出结论. 2

    【答案】解:(1)△ABD≌△BCE≌△CAF;选证△ABD≌△BCE.∵△ABC是正三角形, ∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°,AB=BC. ∵∠ABD=∠ABC-∠CBE,∠BCE=∠ACB-∠ACF, 又∵∠BAD=∠CBE=∠ACF,∴∠ABD=∠BCE.

    1

    ∠BAD=∠CBE,??

    在△ABD和△BCE中,?AB=BC,

    ??∠ABD=∠BCE,∴△ABD≌△BCE(ASA);

    (2)△DEF是正三角形;理由如下: ∵△ABD≌△BCE≌△CAF, ∴∠ADB=∠BEC=∠CFA, ∴∠FDE=∠DEF=∠EFD, ∴△DEF是正三角形;

    (3)作AG⊥BD于G,如图所示. ∵△DEF是正三角形,∴∠ADG=60°. 13

    在Rt△ADG中,DG=b,AG=b. 221?2?3?2?在Rt△ABG中,c=?a+b?+?b?, ?2??2?

    2

    ∴c=a+ab+b.

    1.(2017天门中考)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D与点B在AC同侧,∠DAC>∠BAC,且DA=DC,过点B作BE∥DA交DC于点E,M为AB的中点,连接MD,ME.

    222

    (1)如图①,当∠ADC=90°时,线段MD与ME的数量关系是____;

    (2)如图②,当∠ADC=60°时,试探究线段MD与ME的数量关系,并证明你的结论; ME

    (3)如图③,当∠ADC=α时,求的值.

    MD解:(1)MD=ME; (2)MD=3ME.理由如下: 如答图①,延长EM交DA于点F. ∵BE∥DA,∴∠FAM=∠EBM. ∵M为AB中点,∴AM=BM. 又∵∠AMF=∠BME,

    2

    ∴△AMF≌△BME. ∴AF=BE,MF=ME. ∵DA=DC,∠ADC=60°, ∴∠BED=∠ADC=60°, ∠ACD=60°.

    ∵∠ACB=90°,∴∠ECB=30°. ∵∠BED=∠ECB+∠EBC, ∴∠EBC=30°,∴CE=BE.

    ∴AF=CE,∴DF=DE,∴DM⊥EF,DM平分∠ADC,∴∠MDE=30°. ME3

    在Rt△MDE中,tan∠MDE==,

    MD3∴MD=3ME;

    (3)如答图②,延长EM交DA于点F,延长BE交AC于点N. ∵BE∥DA,

    ∴∠FAM=∠EBM.又∵AM=BM,∠AMF=∠BME, ∴△AMF≌△BME. ∴AF=BE,MF=ME. ∵AD∥BN,∴∠BNC=∠DAC.

    ∵DA=DC,∴∠DCA=∠DAC,∴∠BNC=∠DCA.

    ∵∠ACB=90°,∴∠ECB=90°-∠DCA,∠EBC=90°-∠BNC,∴∠ECB=∠EBC,∴CE=BE, ∴AF=CE,∴DF=DE,∴DM⊥EF,DM平分∠ADC. α

    ∵∠ADC=α,∴∠MDE=. 2

    MEα

    在Rt△MDE中,=tan∠MDE=tan.

    MD2

    2.(2017襄阳中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是中线,AC=BC,一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转,使角的两边分别与AC,BC的延长线相交,交点分别为点E,F,DF与AC交于点 M,DE与BC交于点N.

    3

    (1)如图①,若CE=CF,求证:DE=DF; (2)如图②,在∠EDF绕点D旋转的过程中:

    ①探究三条线段AB,CE,CF之间的数量关系,并说明理由; ②若CE=4,CF=2,求DN的长. 解:(1)∵CD是△ABC的中线,∴AD=BD.

    又∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠BCD=∠ACD=45°,∠BCE=∠ACF=90°,∴∠DCE=∠DCF=135°. CE=CF,??

    在△DCE与△DCF中,∵?∠DCE=∠DCF,

    ??CD=CD,∴△DCE≌△DCF,∴DE=DF; (2)①∵∠DCF=∠DCE=135°, ∴∠CDF+∠F=180°-135°=45°. ∵∠CDF+∠CDE=45°,∴∠F=∠CDE, CDCF2

    ∴△CDF∽△CED,∴=,即CD=CE·CF.

    CECD1

    ∵∠ACB=90°,AC=BC,AD=BD,∴CD=AB,

    2∴AB=4CE·CF;

    ②在题图②中,过D作DG⊥BC于G,则∠DGN=∠ECN=90°,CG=DG. 当CE=4,CF=2时,由①CD=CE·CF得CD=22,

    ∴在Rt△DCG中,CG=DG=CD·sin∠DCG=22×sin45°=2. ∵∠ECN=∠DGN,∠ENC=∠DNG, CNCE

    ∴△CEN∽△GDN,∴==2,

    GNDG12∴GN=CG=,

    33∴DN=GN+DG=

    2

    2

    2

    2

    2

    ?2?+22=210. ?3?3??

    3.(2017临沂中考)如图①,在正方形ABCD中,E,F分别是边BC,AB上的点,且CE=BF.连接DE,过点E作EG⊥DE,使EG=DE,连接FG,FC.

    (1)请判断:FG与CE的数量关系是________,位置关系是________;

    (2)如图②,若E,F分别是边CB,BA延长线上的点,其他条件不变,(1)中结论是否仍然成立?请作出判断并给予证明;

    (3)如图③,若E,F分别是边BC,AB延长线上的点,其他条件不变,(1)中结论是否仍然成立?请直接写出你的判断.

    4

    解:(1)FG=CE,FG∥CE; (2)成立.

    证明:设CF与DE相交于点M. ∵四边形ABCD是正方形, ∴BC=CD,∠FBC=∠ECD=90°. ∵BF=CE,∴△BCF≌△CDE, ∴FC=ED,∠DEC=∠BFC. ∵∠BFC+∠FCE=90°, ∴∠DEC+∠FCE=90°, ∴∠EMC=90°,即FC⊥DE. ∵GE⊥DE,∴GE∥FC. 又∵EG=DE,∴EG=FC, ∴四边形GECF是平行四边形, ∴FG=CE,FG∥CE; (3)成立.

    4.(2017沈阳中考)四边形ABCD是边长为4的正方形,点E在边AD所在的直线上,连接CE,以CE为边,作正方形CEFG(点D,点F在直线CE的同侧),连接BF.

    (1)如图①,当点E与点A重合时,请直接写出BF的长; (2)如图②,当点E在线段AD上时,AE=1. ①求点F到AD的距离; ②求BF的长;

    (3)若BF=310,请直接写出此时AE的长.

    解:(1)BF=45;

    (2) ①如答图,过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H. ∵四边形CEFG是正方形, ∴EC=EF,∠FEC=90°, ∴∠DEC+∠FEH=90°. 又∵四边形ABCD是正方形, ∴∠ADC=90°,

    ∴∠DEC+∠ECD=90°,∴∠ECD=∠FEH. 又∵∠EDC=∠FHE=90°,

    5

    ∴△ECD≌△FEH, ∴FH=ED. ∵AD=4,AE=1, ∴ED=AD-AE=4-1=3,

    ∴FH=3,即点F到AD的距离为3; ②延长FH交BC的延长线于点K. ∴∠DHK=∠HDC=∠DCK =90°, ∴四边形CDHK为矩形, ∴HK=CD=4,

    ∴FK=FH+HK=3+4=7.

    ∵△ECD≌△FEH,∴EH=CD=AD=4, ∴AE=DH=CK=1, ∴BK=BC+CK=4+1=5. 在Rt△BFK中,

    BF=FK+BK=7+5=74; (3)AE=2+41或AE=1.

    【方法指导】(1)过点F作FM⊥BA,交BA的延长线于点M,根据勾股定理求得AC=42.又因点E与点A重合,可得△AFM为等腰直角三角形且AF=42,再由勾股定理求得AM=FM=4.在Rt△BFM中,由勾股定理即可求得BF=45;(2)①过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H,根据已知条件易证△ECD≌△FEH,根据全等三角形的性质可得FH=ED.又因AD=4,AE=1,所以ED=AD-AE=4-1=3,即可求得FH=3,即点F到AD的距离为3;②延长FH交BC的延长线于点K,求得FK和BK的长,在Rt△BFK中,根据勾股定理即可求得BF的长;(3)分点E在线段AD的延长线上和点E在线段DA的延长线上两种情况求解即可.

    2

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